点到直线距离公式

Q: 分子为什么要加绝对值？

距离非负，加绝对值保证结果为正。

数学 · 图形与几何 · 2

d = |Ax₀ + By₀ + C| ÷ √(A² + B²)

公式分析

平面内点 P(x₀,y₀) 到直线 Ax+By+C=0 的距离，等于把点坐标代入直线方程左侧所得值的绝对值，除以直线法向量的模。这是解析几何中最常用的距离公式。

符号说明

d：点到直线距离 x₀,y₀：点的坐标 A,B,C：直线一般式系数

推导过程

法向量

直线 Ax+By+C=0 的法向量为 (A,B)，模为 √(A²+B²)。

投影

点到直线距离等于向量投影长度，得公式。

母题解答公式怎么用

【例题】求点 (1, 2) 到直线 3x + 4y − 5 = 0 的距离。

代入公式

d = |3×1+4×2−5| ÷ √(3²+4²)。

计算

= |3+8−5|÷5 = 6÷5 = 1.2。

答案：1.2

提示：分子取绝对值，分母是 √(A²+B²)。

举一反三学一会三

求点 (0,0) 到直线 3x+4y−10=0 的距离。

提示：|−10|÷5。

答案：2

求点 (2,−1) 到直线 x−y+3=0 的距离。

提示：|2+1+3|÷√2。

答案：3√2

疑难易错

直线化一般式

✗ 常见错误：直线未化成 Ax+By+C=0 就套公式。

忘记绝对值

✗ 常见错误：分子不加绝对值，距离变成负数。

记忆口诀

点代入直线左边取绝对值，除以根号下 A 方加 B 方。

适用条件与注意事项

直线方程必须化为一般式 Ax+By+C=0；(x₀,y₀) 为点的坐标。

考点解析

点到直线距离法向量解析几何

Q：点到直线距离公式是什么？

答：d = |Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)。

Q：分子为什么要加绝对值？

答：距离非负，加绝对值保证结果为正。

填空题计算题应用题

关联公式

同族两点间距离公式

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