等差数列前n项和

Q: 1+2+3+…+100 等于多少？

5050，用首末相加法快速求出。

数学 · 数与代数 · 2

S_n = n(a₁ + a_n) ÷ 2 = na₁ + n(n − 1)d ÷ 2

公式分析

等差数列前 n 项和等于首项加末项的和乘项数再除以 2，也等于项数乘首项加 n(n−1)d/2。两个公式分别适用已知末项与已知公差两种情况。

符号说明

Sₙ：前 n 项和 a₁：首项 aₙ：第 n 项 d：公差 n：项数

推导过程

倒序相加

Sₙ=a₁+a₂+…+aₙ，倒序 Sₙ=aₙ+…+a₁。

配对

两式相加，每对和为 a₁+aₙ，共 n 对，2Sₙ=n(a₁+aₙ)。

母题解答公式怎么用

【例题】等差数列 1, 3, 5, …, 99 的前 50 项和是多少？

确定首末项

a₁=1，a₅₀=99，n=50。

代入公式

S₅₀ = 50×(1+99)÷2。

计算

= 50×100÷2 = 2500。

答案：2500

提示：首项加末项乘项数除以 2，与梯形面积公式神似。

举一反三学一会三

求 1+2+3+…+100。

提示：100×101÷2。

答案：5050

等差数列 a₁=2，d=3，求前 10 项和。

提示：10×2+10×9×3÷2。

答案：155

疑难易错

公式选错

✗ 常见错误：已知末项用第一式，已知公差用第二式，混用出错。

除以 2

✗ 常见错误：忘记除以 2，结果翻倍。

记忆口诀

首项加末项，乘项数，除以 2。

适用条件与注意事项

第一个公式需知末项 aₙ；第二个公式只需首项与公差 d。

考点解析

等差数列前n项和倒序相加

Q：等差数列前 n 项和公式是什么？

答：Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 = na₁ + n(n−1)d/2。

Q：1+2+3+…+100 等于多少？

答：5050，用首末相加法快速求出。

填空题计算题综合题

关联公式

同族等差数列通项公式

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