韦达定理

数学 · 数与代数 · 1

x₁ + x₂ = −b/a，x₁x₂ = c/a

公式分析

设一元二次方程 ax²+bx+c=0 的两根为 x₁、x₂，则两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数。韦达定理揭示了根与系数的关系。

符号说明

x₁：第一个根 x₂：第二个根 a：二次项系数 b：一次项系数 c：常数项

推导过程

由求根公式

x₁+x₂ = (−b+√Δ)/(2a) + (−b−√Δ)/(2a) = −b/a。

相乘

x₁x₂ = ((−b)²−Δ)/(4a²) = c/a。

母题解答公式怎么用

【例题】已知 x² − 5x + 6 = 0 的两根为 x₁、x₂，求 x₁+x₂ 与 x₁x₂。

确定系数

a=1，b=−5，c=6。

套定理

x₁+x₂ = 5，x₁x₂ = 6。

答案：x₁+x₂=5，x₁x₂=6

提示：两根之和、之积可不求出根直接得到。

举一反三学一会三

已知两根为 2 和 3，求以它们为根的方程。

提示：x²−(2+3)x+2×3。

答案：x²−5x+6=0

方程 2x²+3x−2=0 两根之和为？

提示：−3/2。

答案：−3/2

疑难易错

忘记符号

✗ 常见错误：两根之和的 −b/a 漏掉负号。

a 要除对

✗ 常见错误：直接用 −b 和 c，忘记除以 a（a≠1 时）。

记忆口诀

两根之和负 a 分之 b，两根之积 a 分之 c。

适用条件与注意事项

仅适用于一元二次方程（a≠0）；先确认方程有实根（Δ≥0）。

考点解析

韦达定理根与系数关系两根之和积

Q：韦达定理是什么？

答：两根之和 x₁+x₂=−b/a，两根之积 x₁x₂=c/a。

Q：韦达定理有什么用？

答：不求根就能求两根和与积，也可由根构造方程。

填空题选择题应用题

关联公式

应用一元二次方程求根公式

所属学段

初中 · 人教版九年级上册 · 必背

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