正弦定理

Q: 正弦定理什么时候用？

已知两角一边，或两边一对角时解三角形。

数学 · 图形与几何 · 2

a ÷ sinA = b ÷ sinB = c ÷ sinC = 2R

公式分析

在任意三角形中，各边与其对角的正弦值之比都相等，等于外接圆直径 2R。正弦定理用于已知两角一边或两边一对角解三角形。

符号说明

a,b,c：三角形三边 A,B,C：对应角 R：外接圆半径

推导过程

作高

作高 CD，在直角三角形中 h = b·sinA = a·sinB。

比例

得 a/sinA = b/sinB，同理推广到 c/sinC = 2R。

母题解答公式怎么用

【例题】在△ABC 中，A=30°，B=45°，a=2，求 b。

套正弦定理

a/sinA = b/sinB，即 2/sin30° = b/sin45°。

计算

2/0.5 = b/(√2/2)，b = 4×(√2/2) = 2√2。

答案：2√2

提示：两边与对角对应，比值相等。

举一反三学一会三

△ABC 中，A=60°，a=√3，求外接圆半径。

提示：2R = a/sinA = √3/(√3/2)=2。

答案：1

△ABC 中，a=3，A=30°，求 b/sinB。

提示：等于 a/sinA。

答案：6

疑难易错

边角对应

✗ 常见错误：边与不对应的角相除，如 a/sinB。

2R 含义

✗ 常见错误：不知道比值等于外接圆直径 2R。

记忆口诀

边比正弦，等于外接圆直径。

适用条件与注意事项

a、b、c 为三角形三边，A、B、C 为对应角，R 为外接圆半径；适用于任意三角形。

考点解析

正弦定理边角关系外接圆直径

Q：正弦定理是什么？

答：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R。

Q：正弦定理什么时候用？

答：已知两角一边，或两边一对角时解三角形。

填空题计算题应用题

关联公式

应用诱导公式同族余弦定理

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